Vorming Fractal.

Ganesh

Hoi!

Ik ben Ganesh en doe nu 5 HAVO. Mijn PWS gaat over Fractals en Complexe Getallen.
Wat ik me af vraag is of iemand de formule kan verklaren.

Zn + = Z^2 + C

Groet, Ganesh

Ganesh

Ik snap alleen 2 dingetjes nog niet, hoe moet ik dan bijvoorbeeld 6 + 3i invullen bij c? gewoon Z(n+1) = Z(n)^2 + 6 + 3i ?
En bij jouw voorbeeld gebruik je niet Z(n+1)..waarom niet?

Berend

Hi Ganesh,

Wat bedoel je met 'dat ik Z(n+1) niet gebruik'? De Z(n+1) is het volgende getal in de reeks, die staat vóór het isgelijk teken en rekenen we uit met behulp van de formule.

Als je 6+3i in zou vullen krijg je dit: Z(n+1) = Z(n)^2+6+3i en de reeks begint dan zo:
Z(0) = 0
Z(1) = 0^2 + 6 + 3i = 6+3i
Z(2) = (6+3i)^2 + 6+3i = (6+3i)(6+3i) + 6+3i = (36 + 36i -9) + 6+3i = 33 + 39i
Z(3) = (33+39i)^2 + 6+3i = .....

Is dat duidelijk?

Ganesh

Ik snap em helemaal! Super bedankt! Nu nog ff een voldoende halen :)

Berend

Hi Ganesh,

De formule Z(n+1) = Z(n)^2 + c bestaat uit drie termen, die bespreken we één voor één, maar eerst een klein stukje theorie over een fractaal. Een fractaal is de begrenzing van een Mandelbrot set. Dat wil zeggen, de uiterste rand. Deze Mandelbrot set noemen we Z. Om een Mandelbrot set te zijn, moet de set Z een begrensde set zijn. Bijvoorbeeld 0,-1,0,-1,0, etc. Het mag niet oneindig zijn zoals 0,1,2,5,26, etc.
De set Z wordt gedefinieerd door de formule waar jij het over hebt. Echter wordt niet de hele set in één keer beschreven, maar wordt deze per term gedefinieerd. Deze term is afhankelijk van de vorige term. Dat noemen we een recursieve relatie. Als je bijvoorbeeld eindeloos wil tellen kan je zeggen:

[nieuwe waarde] = [oude waarde] + 1.

Je reeks wordt dus nu 1,2,3,4,etc. We schrijven dat op als

getal(n+1) = getal(n) + 1

De kleine letter n die als subscript wordt gebruikt (en hier tussen haakjes staat) is dus de ‘counter’ die bijhoudt hoe ver we in de reeks ‘getal’ zijn. Vergelijk dit met de i die je bij programmeren gebruikt als je een loop wil maken.

De drie termen in de formule:
Z(n+1) is de nieuwe waarde in de reeks Z.
Z(n)^2 is de oude waarde in de reeks Z tot de macht twee
C is een constante, een complexe constante in dit geval. In de vorm c=a+bi

Met complexe getallen ben je bekend, toch? Als we het voorbeeld simpel laten en geen complexe waarde invullen, maar kijken naar de resultaten van c=-1 en c=1, zien we het volgende.

Invullen van c=1 geeft de volgende reeks:
Z(0)= 0
Z(1)=0^2+1=1
Z(2)=1^2+1=2
Z(3)=2^2+1=5
Z(3)=5^2+1=26
Etc.
Deze reeks is dus geen Mandelbrot set!

Vul dit nu eens voor c=-1 in en kijk of dit wel een Mandelbrot set zou zijn. Het resultaat mag je posten als je wil.

Is het zo wat duidelijker? Succes!

Berend

Moet lukken! Succes!